[The following is a guest post by my Spanish alter ego, Steven, who writes in Spanish.]
Son fechas de oposiciones de secundaria en España, y en este post voy a describir un cálculo que cada opositor debería hacer.
Foto por Elijah Hail en Unsplash
La primera prueba de la mayoría de las oposiciones consiste en desarrollar un tema completo del temario de la oposición. Este temario puede contener fácilmente más de 70 temas, cada uno con su complejidad correspondiente, lo cual hace que su memorización sea una hazaña importante o incluso imposible. Afortunadamente, no es necesario estudiarse todos los temas, puesto el opositor puede elegir un tema de una selección pequeña. En particular, la dinámica típica es la siguiente: De todos los temas disponibles se sacan al azar 5, y de esos 5 el opositor elige uno para desarrollar. De ese modo, si el temario contiene 70 temas, no tiene sentido estudiarse todos esos temas, ni 69 ni 68, porque claramente el número mínimo que hay que estudiar para que sea seguro que salga uno de los estudiados es 66, o bien 70 - 4. Incluso no es descabellado estudiarse alguno menos, porque estudiando por ejemplo 60 temas, sigue siendo muy probable de que entre los 5 seleccionados salga uno de los estudiados. Lo cual nos lleva al maravilloso mundo de las probabilidades, la combinatoria, y en particular la siguiente pregunta:
"Si estudio 20 temas de un temario de 70 temas, ¿cuál es la probabilidad de que cuando se escogen 5 salga por lo menos uno de los que he estudiado?"
Esta pregunta es bien importante, porque nos permitirá definir una cantidad de temas a estudiar con suficiente rigor. Por ejemplo, si resulta que dicha probabilidad es de 95%, seguramente valdrá la pena estudiarse solo esos 20 temas, en mucha profundidad. Por otro lado, si esta probabilidad es baja, por ejemplo 30%, deberíamos estudiar más temas para incrementarla, aunque como el tiempo disponible es fijo esto también significará que el tiempo dedicado a cada tema será menos que con esos 20 temas.
En el caso del ejemplo el cálculo no es muy complicado:
P(cae por lo menos 1) = 1 - P(no cae ninguno)
Aquí, P(no cae ninguno) es la probabilidad de que en el sorteo de los 5 números no caiga ninguno de los estudiados, y se obtiene como
P(no cae ninguno) = P(ninguno en 1º sorteo)·P(ninguno en 2º sorteo)· ... · P(ninguno en 5º sorteo)
Las probabilidades de la mano derecha no son independientes, puesto que al sacar el primer número ya no se puede sacar este número en el segundo sorteo. (Se forman lo que se conoce como "combinaciones sin reemplazo".) Tenemos las siguientes probabilidades:
P(ninguno en 1º sorteo) = 50/70
porque hay 50 posibilidades de sacar un número que no pertenece a los 20 estudiados, de un total de 70. Como no hay reemplazo, obtenemos las otras probabilidades de la siguiente forma:
P(ninguno en 2º sorteo) = 49/69
P(ninguno en 3º sorteo) = 48/68
P(ninguno en 4º sorteo) = 47/67
P(ninguno en 5º sorteo) = 46/66
Juntando todo, obtenemos la probabilidad que buscábamos:
P(cae por lo menos 1) = 1-50/70·49/69·48/68·47/67·46/66 = 82%
Resulta que estudiando solo 20 temas de un total de 70 la probabilidad es del 82%, lo cual es bastante alto. Esta probabilidad es aproximadamente 4/5, lo cual significa que si nos presentásemos 5 veces que solo 1 vez tendríamos la suerte de no haber estudiado ningún tema de los sacados, en promedio.
Pero aunque 82% es una probabilidad razonablemente alta, el tema de la oposición es lo suficientemente importante para intentar garantizar el éxito algo más. Podríamos dar la vuelta a la pregunta y preguntarnos, ¿cuál es el número mínimo de temas que debería estudiar para que la probabilidad de que caiga por lo menos uno de los estudiados sea por lo menos el 95%? La forma más rápida de obtener este número es calcular la probabilidad para 21 temas, 22 temas, etc. por ejemplo con una hoja de cálculo, e identificar en qué caso alcanzamos la probabilidad buscada. En este caso, los números que salen son los siguientes:
